قانون بیز

قانون بیز

قانون بیز نتایج حاصل از تست‌ها را به احتمال‌های واقعی رویداد تبدیل می‌کند. در این نوشته با شما هستیم تا تئوری بیز را که تحت عنوان قانون‌ بیز شناخته می‌شود را بررسی خواهیم کرد.

قانون بیز

با استفاده از قضیه بیز می‌توانید:

• خطاهای اندازه‌گیری را اصلاح کنید: اگر مقدار احتمال واقعی و شانس بروز مثبت نادرست و منفی نادرست را بدانید، می‌تونید خطاهای اندازه‌گیری را اصلاح کنید.
• احتمال واقعی را به احتمال اندازه‌گیری شده تست ارتباط دهید: قضیه بیز به ما امکان می‌دهد که (PR(A|X یعنی احتمال وقوع رویداد A را با فرض شرط X به (PR(X|A اتصال دهیم که شانس وقوع شرط X با فرض اتفاق افتادن رویداد A است.

قانون بیز را تست کنیم!

یک سناریوی تست سرطان را بررسی می‌کنیم:

• 1% از زنان سرطان سینه دارند. (و از این رو 99% ندارند)
• 80% از تست‌های ماموگرافی در صورت وجود سرطان می‌توانند آن را تشخیص دهند. (و از این رو 20% نمی‌توانند آن را تشخیص دهند.)
• 9.6% از تست‌های ماموگرافی در مواردی که سرطان وجود ندارد، منجر به اعلام نتایج مثبت نادرست می‌شوند. (و از این رو 90.4% مورد منفی را به درستی نشان می‌دهند.)

اگر بخواهیم موارد فوق را در یک جدول تنظیم کنیم به صورت زیر خواهد بود:

نحوه خواندن این جدول چگونه است؟

• 1% از افراد سرطان دارند.
• اگر فرد سرطان دارد، در ستون اول قرار دارد، احتمال این که نتیجه تست وی مثبت شود 80% است. احتمال این که نتیجه تست منفی شود برابر با 20% است.
• اگر سرطان ندارد، در ستون دوم است. یعنی 9.6% احتمال هست که نتایج تست مثبت شود و 90.4 درصد احتمال هست که نتایج تست منفی می‌شود.

دقت این تست چقدر است؟

فرض کنید نتیجه تست فرد مثبت است. احتمال این که او سرطان دارد چقدر است؟ 80%؟، 99%؟ یا 1%؟

• اگر نتیجه تست فرد مثبت شود. این بدان معنی است که جایی در ردیف اول جدول فوق قرار دارد. در این مورد حدسی نمی‌زنیم، وضعیت وی می‌تواند یک مثبت درست یا یک مثبت نادرست شود.
• احتمال یک مثبت درست یعنی احتمال این که شخص سرطان دارد * احتمال این که تست به درستی تشخیص داده شود، برابر با 1% * 80% = 0.008 است.
• احتمال یک مثبت نادرست یعنی احتمال این که سرطان ندارد * احتمال این که تست، آن را تشخیص داده شود، برابر با 99% * 9.6% = 0.09504 است.

اگر نتایج فوق را در جدولی تنظیم کنیم، خروجی به صورت زیر خواهد بود:

احتمال یک رویداد از تقسیم تعداد راه‌هایی که ممکن است رخ بدهد بر همه خروجی‌های ممکن به دست می‌آید:

 همه حالت‌ها/ رویداد مطلوب = احتمال

احتمال این که فردی واقعاً یک نتیجه مثبت پیدا کند برابر با 0.008 است. احتمال این که هر گونه نتیجه مثبتی پیدا کند، برابر است با احتمال یک مثبت درست به علاوه احتمال مثبت نادرست یعنی (0.008 + 0.09504 = 0.10304) بنابراین احتمال وجود سرطان در صورت مثبت بودن نتیجه برابر خواهد بود با 0.008/0.10304 = 0.0776 یا در حدود 7.8 درصد.

در ارتباط با شاخه‌های مختلف هوش مصنوعی در این لینک بیش‌تر بخوانید.